山西自考会计专业概率论与数理统计复习资料7
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第七章 参数估计
内容介绍
本章主要内容是参数的点估计、估计量的评价标准以及参数的区间估计等.
内容讲解
引 言：
本章将讨论统计推断，所谓统计推断就是由样本来推断总体. 当总体的某个参数未知时，用样本来对它进行估计，就是参数估计. 至于参数，目前没有准确的定义，只有一些具体的参数，本书指出三类参数：
①分布中含有的未知参数θ；
②θ的函数；
③分布的各种特证数。
§ 7.1 点估计
1.点估计定义：设x1,x2,…xn是总体X的一个样本，θ是它的未知参数，用一个关于x1,x2,…xn的统计量 的取值作为θ的估计值，称 为θ的点估计.
2.点估计的两种常用方法
（1）替换原理和矩法估计
① 替换原理：替换原理常指如下两句话：一是：用样本矩替换总体矩；二是：用样本矩的函数替换相应的总体矩的函数.
② 矩估计的方法：根据替换原理，用样本矩或样本矩的函数对总体的矩或矩的函数进行估计。例如：
用样本均值 估计总体均值E（X），即 ；
用样本二阶中心矩 估计总体方差，即 ；
用事件A的频率估计事件A的概率等.
例题1. P146
【例7－1】对某型号的20辆汽车记录其每5L汽油的行驶里程（km），观测数据如下：
29.8 27.6 28.3 27.9 30.1 28.7 29.9 28.0 27.9 28.7
28.4 27.2 29.5 28.5 28.0 30.0 29.1 29.8 29.6 26.9
【答疑编号12070101】
（2）概率函数p（x；θ）已知时未知参数的矩法估计
设总体具有已知的概率函数p（x；θ1，…，θk），（θ1，…，θk） 是未知参数或参数向量，x1,…,xn是样本，假定总体的k阶原点矩μk存在，则对所有的j（0<j<k），μj都存在。
（3）若假设θ1，…，θk能够表示成μ1，…，μk的函数θj=θj（μ1，…，μk），则可给出诸θj的矩法估计。
例题2. P146
【例7－2】设总体为指数分布，其密度函数为
【答疑编号12070102】
这说明矩估计可能是不惟一的，这是矩法估计的一个缺点，此时通常应该尽量采用低阶矩给出未知参数的估计。
例题3. P147
【例7－3】设x1,…,xn是来自服从区间（0，θ）上的均匀分布U（0，θ）的样本，θ>0为未知参数。求θ的矩估计 。
【答疑编号12070103】
矩估计法处理三类问题：第一，直接估计参数，第二，通过总体分布已知，但还有未知参数的情况下，对未知参数进行估计的时候，是要通过总体所服从的分布，找到未知参数和X之间的关系，然后对X进行估计，代进去对未知参数进行估计。第三，未知参数的函数的估计。
小概率原理：小概率事件，在一次试验中，几乎不可能发生。在一次事件中就发生的事件，我们认为它是大概率事件。
（4）极大似然估计
设总体的概率函数为p（x,θ）， ，其中θ是一个未知参数或未知参数向量， 是参数θ的取值范围，x1,x2,…xn是该总体的样本，将样本联合概率函数记为 ，简记为 ，
则称 为样本的似然函数. 如果存在统计量 使得
，
则称 为θ的极大似然估计.
例题4. P147
【例7－4】设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球和1个黑球，乙箱中有99个黑球和一个白球。现随机地抽取一箱，并从中随机抽取一球，结果取得白球，问这球是从哪一个箱子中取出的？
【答疑编号12070104】
解：不管是哪一个箱子，从箱子中任取一球都有两个可能的结果：A表示取出白球，B表示取出黑球。如果我们取出的是甲箱，则A发生的概率为0.99，而如果取出的是乙箱，则a发生的概率为0.01。现在一次试验中结果A发生了，人们的第一印象就是：“此白球（A）最像从甲箱取出的”，或者说，应该认为试验条件对事件A出现有利，从而可以推断这球是从甲箱中取出的。这个推断很符合人们的经验事实，这里“最像”就是“极大似然”之意。
例题5. P147
【例7－5】设产品分为合格品与不合格品两类，我们用一个随机变量X来表示某个产品是否合格，X=0表示合格品，X=1表示不合格品，则X服从二点分布B（1，p），其中p是未知的不合格品率。
【答疑编号12070105】
总结计算方法：
① 构造似然函数；② 求似然函数的对数. 由于似然函数是以乘积形式构成，对数函数 是 的单调增加函数，则似然函数的对数与其有相同的极值点，所以在求导数之前先求似然函数的对数；③ 用导数求似然函数对数的极值，得极大似然估计值.
例题6. P148
【例7－6】设一个试验有三种可能结束，其发生的概率分别为
p1=θ2，p2=2θ（1-θ），p3=（1-θ）θ2。
现做了n次试验，观测到三种结果发生的次数分别为n1,n2,n3（n1+n2+n3=n），求似然函数。
【答疑编号12070106】
例题7. P149
【例7－7】对正态总体N（μ，σ2），θ=（μ，σ2）是二维参数，设有样本x1,…xn,求似然函数。
【答疑编号12070107】
例题8. P149
【例7－8】（1）设总体X服从泊松分布p（λ），求λ的极大似然估计；
【答疑编号12070108】
（2）设总体X服从指数分布E（λ），求λ的极大似然估计。
【答疑编号12070109】
例题9. P150
【例7－9】设x1,x2,…xn是总体的样本，已知总体的密度函数为
试分别求出θ的矩估计 和极大似然估计 .
【答疑编号12070110】
例题10. P150
【例7－10】设x1，…，xn是来自均匀总体U（0，θ）的样本，试求θ的极大似然估计。
类似地，当总体X～U（a,b）时，参数a、b的极大似然估计为
【答疑编号12070111】
极大似然估计的一个简单而有用的性质：若 是θ的极大似然估计，则对任一θ的函数g（θ）, 它的极大似然估计为 ，这就是极大似然估计的不变性。
例题11 P151
【例7－11】设x1,x2,…xn是来正态总体N（μ，σ2）的样本，求标准差σ和概率P{X≤3}的最大似然估计。
【答疑编号12070112】
§ 7. 2 点估计的评价标准
1.相合性
（1）定义：设 为未知参数， 是θ的一个估计量，n是样本容量，若对任何ε>0，有
，
则称 为参数θ的相合估计.
解释：相合性被认为是对估计的一项最基本的要求. 但是，由于此性质需要有n→∞的极限过程，所以，相合性适合的大样本估计的评价。
例题1. P152
【例7－12】设x1,x2,…是来自正态总体N（μ，σ2）的样本，则由大数定律及相合性定义知：
是μ的相合估计；
是σ2的相合估计；
也是σ2的相合估计。
证明： 是μ的相合估计。
【答疑编号12070201】
（2）相合性判定定理：设 是θ的一个估计量，若
， ，
则称 为参数θ的相合估计.
例题2. P152
【例7－13】设x1, …，xn是来自均匀总体u（0,θ）的样本，证明θ的极大似然估计是相合估计。
【答疑编号12070202】
为了使用定理判断，我们下面求它的数学期望和方差。
2.无偏性
对于小样本，无偏性是一个常用的评价标准。
（1）定义：设 是θ的一个估计，θ的参数空间为 ，若对任意 ，有
，
则称 为θ的无偏估计；否则称为有偏估计.
解释：无偏估计表示估计值与被估计量之间没有系统偏差.
例题3. P153
【例7－14】对任一总体而方，样本均值是总体均值的无偏估计。当总体k阶矩存在时，样本k阶原点矩ak是总体k阶原点矩μk的无偏估计。但对k阶中心矩则不一样，例如，二阶样本中心矩 就不是部体方差σ2的无偏估计。
证明： ，
【答疑编号12070203】
（2）几个有用的结论
① 是 的无偏估计；
② ，即 是σ2的渐进无偏估计；
③s2是σ2的无偏估计；
④ 若 为θ的无偏估计，一般地，除gθ是θ的线性函数外， 不是gθ的无偏估计.
所以，无偏性没有不变性。
3.有效性
（1）定义：设 ， 是θ的两个无偏估计，如果对任意的 有
，
且至少有一个 使上式的不等号严格成立，则称 比 有效.
（2）解释：这是在无偏估计中选择更好的估计的评价标准。
例题15. P154
【例7－15】设x1,…,xn是取自某总体的样本，记总体均值为μ，总体方差为σ2，则 ， 都是μ的无偏估计，
【答疑编号12070204】
而 ，所以 比 有效。
§ 7. 3 参数的区间估计
点估价的两点不足：① 很难准确；② 没有用数量表示的可信度。为此，引入区间估计。
1.置信区间的概念
（1）引例
【例7－17】设某种绝缘子抗扭强度X服从正态分布N（μ，σ2），其中未知，σ2已知（σ＝45公斤•米），试对总体均值μ作区间估计.
分析：首先，通过抽样来估计μ，所以，从总体X抽取容量为n的样本x1，x2，…，xn，可得样本均值 ，已知 是μ的无偏估计，且 ～ ，可以在 的基础上对μ作区间估计.
【答疑编号12070301】
其次，也是最重要的是，要选择一个合适的统计量作为估计函数. 为了对μ作估计，要求估计函数应该：① 含有待估计参数μ，② 无论μ为何值，估计函数的分布已知，以便通过查该分布的计算表求所需数值.
再次，为了克服点估计的可信程度无法度量的不足，需要设定一个可信概率，记为1－α（0<α<1），称为置信度，依此概率进行估计.
解：从总体X抽取容量为n的样本x1，x2，…，xn，可得样本均值 ～ ，从而得到合适的估计函数为
～ ；
因为 是μ的无偏估计及标准正态分布概率密度函数的对称性，又置信度为1－α（0<α<1），所以，查表求满足
或
的 ，即标准正态分布的上 分位点.
将不等式 转化为 ，即为
，
因此有
.
所得区间 即为所求的估计区间，由于区间长度随置信度1－α变化而变换，所以称之为置信区间.
小结：步骤：① 选取合适的估计函数；② 根据置信度查表求上 分位点；③ 根据样本及相应的置信区间公式，求出置信区间.
（2）置信区间的定义：设θ为总体的未知参数， ， 是由样本x1，x2，…，xn给出的两个统计量，若对于给定的概率1－α（0<α<1），有
，
则随机区间[ ]称为参数θ的置信度为1－α的置信区间， 称为置信下限， 称为置信上限.
（3）解释：参数θ落入区间[ ]的概率为1－α.
（4）置信度与精度的关系
① 在样本容量固定的条件下，置信度增大，将引起置信区间长度增大，使区间估计的精度降低；置信度减小，将引起置信区间长度减小，使区间估计的精度提高；
② 在置信度固定不变的条件下，样本容量增大，将引起置信区间长度减小，区间估计的精度提高；反之，精度降低.
2.单正态总体参数的置信区间
设总体X～N（μ，σ2），x1，x2，…，xn为其样本.
（1）σ已知时，μ的置信度为1－α的区间估计
由引例得此置信区间为
.
【例7－18】某车间生产滚珠，从长期实践知道，滚珠直径X服从正态分布。从某天产品里随机抽取6个，测得直径为（单位：毫米）：
14.6， 15.1， 14.9， 14.8， 15.2， 15.1.
若总体方差σ2=0.06，求总体均值μ的置信区间（σ=0.05，σ=0.01）
【答疑编号12070302】
【例7－19】用天平称量某物体的质量9次，得平均值为 ，已知天平称量结果为正态分布，其标准差为0.1g。试求该物体质量的0.95置信区间。
【答疑编号12070303】
解：此外1-α=0.95，α=0.05，查表知u0.025=1.96，于是该物体的体质量μ的0.95置信区间为
=15.4±0.0653，
从而该物体质量的0.95置信区间为[15.3347，15.4653]。
【例7－20】设总体为正态分布N（μ，1），为得到μ的置信水平为0.95的置信区间长度不超过1.2，样本容量应为多大？
【答疑编号12070304】
（2）σ未知时，μ的置信度为1－α的区间估计
选择统计量 ～ ，得到μ的置信度为1－α的置信区间为
，
其中 ，是σ2的无偏估计.
【例7－21】假设轮胎的寿命服从正态分布。为估计某种轮胎的平均寿命，现随机地抽12只轮胎试用，测得它们的寿命（单位：万千米）如下：
4.68 4.85 4.32 4.85 4.61 5.02 5.20 4.60 4.58 4.72 4.38 4.70
试求平均寿命的0.95置信区间。
【答疑编号12070305】
3.μ未知，σ2的置信区间
根据样本方差s2的无偏估计及定理6－4（2）的结论，有估计函数
～ .
又根据给定的置信度1－α、 分布密度函数的特点以及置信区间为等尾区间的要求，查 分布表求出 分布的两个分位点 和 ，满足
，
由此得σ2的置信度为1－α的置信区间为
.
【例7－22】某厂生产的零件质量服从正态分布N（μ，σ2），现从该有利于生产的零件中抽取9个，测得其质量为（单位：g）
45.3 45.4 45.1 45.3 45.5 45.7 45.4 45.3 45.6
试求总体标准差σ的0.95置信区间。
【答疑编号12070306】
解：由数据可算得s2=0.0325，（n-1）s2=8×0.0325=0.26，这里α=0.05，查表知 （8）=2.1797， （8）=17.5345，代入（7.3.1）可得σ2的0.95置信区间为
本章小结：
一、内容
二、试题选讲
1. 设总体X～N（1，σ2），x1，x2，…，xn是来自该总体的样本， ，则 ＝_____________.
【答疑编号12070307】
答案：1
2.设总体X具有区间[0，θ]上的均匀分布（θ>0），x1，x2，…，xn是来自该总体的样本，则 的矩估计 ＝____________.
【答疑编号12070308】
答案：
3.设总体X的概率密度为 ，x1，x2，…，xn是总体X的一个样本，则未知 的矩估计 ＝_____________.
【答疑编号12070309】
答案：
4.设总体X服从参数λ的泊松分布，其中λ为未知参数，X1，X2，…，Xn为来自该总体的一个样本，则参数λ的矩估计量为_________________.
【答疑编号12070310】
答案：
5.设总体X服从[0，2θ]上的均匀分布（θ>0），x1，x2，…，xn是来自该总体的样本， 为样本均值，则θ的矩估计 ＝（ ）.
A.2 B. C. /2 D.1/2
【答疑编号12070311】
答案：B
6.设总体X～N（μ，σ2），x1，x2，x3为来自总体X的样本，则当α＝______时， 是未知参数μ的无偏估计.
【答疑编号12070312】
答案：1/4
7.用传统工艺加工某种水果罐头，每瓶维生素C的含量为随机变量X（单位：mg），设X～N（μ，σ2），其中μ，σ2均未知。现抽查16瓶罐头进行测试，测得维生素C的平均含量为20.80mg，样本标准差为1.60mg，试求μ的置信度95%的置信区间.
（附： ， ）
【答疑编号12070313】
答案：
8.一台自动车床加工的零件长度X（单位：cm）服从正态分布N（μ, σ2），从该车床加工的零件中随机抽取4个，测得样本方差s2＝ ，试求：总体方差σ2的置信度为95%的置信区间.
（附： ， ， ， ）
【答疑编号12070314】
答案： ＝[0.0428，1.8518]