山西自考线性代数（经管类）复习资料下载2
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第二部分 矩阵
本章概述
矩阵是线性代数的重要内容，也是研究线性方程组和其它各章的主要工具。主要讨论矩阵的各种运算的概念和性质。在自学考试中，所占比例是各章之最。按考试大纲的规定，第二章占26分左右。而由于第三，四，五，六各章的讨论中都必须以矩阵作为主要工具，故加上试题中必须应用矩阵运算解决的题目的比例就要占到50分以上了。以改版后的三次考试为例，看下表
按考试大纲所占分数 07.4 07.7 07.10
直接考矩阵这一章的 26分左右 31分 34分 38分
加上其它章中必须用矩阵运算的所占分数 51分 53分 67分
由此矩阵这一章的重要性可见一般。
2.1 线性方程组和矩阵的定义
2.1.1 线性方程组
n元线性方程组的一般形式为
特别若 ，称这样的方程组为齐次方程组。
称数表 为该线性方程组的系数矩阵；
称数表 为该线性方程组的增广矩阵。
事实上，给定了线性方程组，就惟一地确定了它的增广矩阵；反过来，只要给定一个m×(n+1)阶矩阵，就能惟一地确定一个以它为增广矩阵的n个未知数，m个方程的线性方程组。
例1 写出下面线性方程组的系数矩阵和增广矩阵
【答疑编号12020101】
例2 写出以下面矩阵为增广矩阵的线性方程组
【答疑编号12020102】
2.1.2 矩阵的概念
一、矩阵的定义
定义2.1.1 我们称由mn个数 排成的m行n列的数表
为m×n阶矩阵，也可记为 为矩阵A第i行，第j列的元素。 注意:矩阵和行列式的区别。
二、几类特殊的矩阵
1.所有元素都为零的矩阵称为零矩阵，记为O。
例如 都是零矩阵。
2.若A的行数m=1，则称
为行矩阵，也称为n维行向量。
若A的列数n=1，则称 为列矩阵，也称为m维列向量。
3.若矩阵A的行数=列数=n，则称矩阵A为n阶方阵，或简称A为n阶阵。
如n个未知数，n个方程的线性方程组的系数矩阵。
4.称n阶方阵 为n阶对角阵。
特别若上述对角阵中， ，
称矩阵 为数量矩阵，
如果其中λ=1，上述数量阵为 ，称 为n阶单位阵。
5.上(下)三角阵
称形如 的矩阵为上(下)三角矩阵。
2.2 矩阵的运算
这节介绍
（1）矩阵运算的定义，特别要注意，矩阵运算有意义的充分必要条件；
（2）矩阵运算的性质，要注意矩阵运算与数的运算性质的异同，重点是矩阵运算性质与数的运算性质的差别。
2.2.1 矩阵的相等
为建立矩阵运算的概念，先说明什么叫两个矩阵相等。
定义2.2.1如果矩阵A，Ｂ的阶数相同，即行数、列数都相同，则称矩阵Ａ与B同型；若A与B同型，且对应元素都相等，则称矩阵A与B相等，记为A=B。
请注意区别两个矩阵相等和两个行列式相等
例如 虽然行列式有
但矩阵 ； ； 。
2.2.2 矩阵的加减法
定义2.2.2 设A与B都是m×n阶矩阵(即A与B同型)， ，则矩阵A与B可以相加(相减)，其和(差)定义为m×n阶矩阵
例1设 求A+B、A-B。
【答疑编号12020103】
例2 则A与B不能相加(减)，或说A±B无意义。
加法运算的性质
设A，B，C都是m×n阶矩阵，O是m×n阶零矩阵，则
1.交换律 A+B=B+A。
2.结合律 (A+B)+C=A+(B+C)。
3.负矩阵 对于任意的m×n阶矩阵
定义 ，显然A+(-A)=O；A-B=A+(-B)。
2.2.3 数乘运算
定义2.2.3 数λ与矩阵A的乘积记作λA或Aλ，定义为
例3 设 ，求3A。
【答疑编号12020104】
解
例4 设 ，求3A-2B。
【答疑编号12020105】
例5 已知 ，求2A-3B。
【答疑编号12020106】
数乘运算满足：
1.1•A=A
2.设k,l是数，A是矩阵，则k(lA)=(kl)A
3.分配律 k(A+B)=Ka+kB；(k+l)A=kA+la
例6 已知 ，且A+2X=B，求X。
2.2.4 矩阵的乘法
先介绍矩阵乘法的定义，后面再介绍为什么这样定义乘法。
一、定义
定义2.2.4 设矩阵 ，(注意:A的列数=B的行数)。定义A与B的乘积为一个m×n阶矩阵 ，其中 (i=1,2,……m,j=1,2, …n)
可见，矩阵A,B可以相乘的充分必要条件是A的列数＝B的行数，乘积矩阵C=AB的行数=A的行数；其列数=B的列数。
例如
则A,B可以相乘，其乘积 其中
例7设矩阵
【答疑编号12020201】
问BA有意义吗？
无意义。因为第一个矩阵的列数不等于第二矩阵的行数，所以BA无意义。
例8
(1)设矩阵
(2)
求AB；BA
【答疑编号12020202】
此例说明 AB,BA虽然都有意义，但两矩阵不同型，当然不相等。
例9设矩阵 ，求AB,BA。
【答疑编号12020203】
为什么这样定义乘法？
考虑线性方程组
设 ，则
，于是线性方程组(1)
就可以写成矩阵形式AX=b。
这表明，应用这种方法定义矩阵乘法，可以把任意线性方程组写成与一元一次方程ax=b完全相同的形式，使整个的讨论变得简单了。
二、性质
（1）乘法没有交换律，AB不一定等于BA。
（2）结合律 (AB)C=A(BC)
（3）分配律 (A+B)C=AC+BC；A(B+C)=AB+AC
（4）数乘与乘法的结合律k(AB)=(kA)B=A(kB)
（5）单位矩阵的作用
。
另一部分的证明请同学们自己作。
但对于某些特殊的矩阵（方阵）满足AB=BA，我们称它们是乘法可交换的，例如n阶方阵A与n阶单位阵就可交换。
例10 设矩阵 ，求出所有与A乘积可交换的矩阵。
【答疑编号12020204】
;
2.2.5 方阵的幂
设A是一个矩阵， 何时有意义?
当且只当A为n阶方阵时， 有意义。这时，对k≥2定义
称 为A的k次幂。
例11 数学归纳法证明
【答疑编号12020301】
（2）
【答疑编号12020302】
对于数，幂的运算有下列性质：
（1）同底幂相乘，指数相加。即 ；
（2） ；
（3）
对于方阵的幂有下列性质：
（1） 。
对于数，为什么
所以对于n阶方阵 不一定等于 。
根据矩阵乘法和方阵幂的性质，数的乘法公式有下面的变化：
一般不等于 。
一般不等于 。
这些变化的原因就在于矩阵乘法没有交换律。
但对于某些特殊的矩阵满足AB=BA，例如
n阶方阵A与n阶单位阵就可交换，所以
请思考
例12 设 求 。
【答疑编号12020303】
例13 设 ，求 。
【答疑编号12020304】
例14 设 。
【答疑编号12020305】
小结 矩阵乘法和数的乘法性质的区别：
(1)矩阵乘法没有交换律，由此引出乘法公式:如 ， 不一定等于 等公式的变化；
(2)对于矩阵：两个非零矩阵的乘积可能为零矩阵；
(3)对于方阵 ，可能 可能 ，…
(4) 不一定等于 。
2.2.6 矩阵的转置
一、定义
定义2.2.5设 。将其行列互换，所得的矩阵记为 称它为A的转置，即 显然，m×n阶矩阵A的转置 是n×m阶。
二、性质
1. ；
2. ；
3. ；
现看下面的例
例15 设 ，求 ；问 哪个有意义，若有意义，求它的乘积矩阵。
【答疑编号12020306】
解
没有意义。 有意义，且
所以
一般， ，则AB是m×n阶的。 是k×m阶， 为n×k阶，故 不一定有意义。但 有意义。可以证明
4.(反序律) 。
三、对称阵和反对称阵
定义 设A为n阶实方阵。如果满足 ，则称A为实对称(反对称)阵。
例16 为实对称阵； 为反对称阵。
例17 证明:任意n阶方阵A都可以惟一地分解为一个对称阵和一个反对称阵的和。
【答疑编号12020307】
例18证明:设A,B都是n阶对称阵，证明AB为对称阵的充分必要条件是AB=BA。
【答疑编号12020308】
扩展 改为 设A,B都是n阶反对称阵， 证明AB为对称阵的充分必要条件是AB=BA。
2.2.7 方阵的行列式
一阶方阵和一阶行列式都是数，但当n≥2以后，矩阵和行列式是两个不同的概念，矩阵是一个数表，可以是方的也可以是长方的。对于n阶方阵，可以对它取行列式，但行列式已不仅是数表，而它的值是一个数。
性质:
1. ；
2. ；
3. 。
于是容易看出，虽然AB不一定等于BA，但 。
例19 证明奇数阶的反对称阵的行列式等于零。
【答疑编号12020309】
2.2.8 方阵多项式
任意给定多项式 和一个n阶方阵A。
定义
称f(A)为A的方阵多项式。
例20 设 求f(A)。
【答疑编号12020310】
小结
1.矩阵各种运算的定义(包括运算有意义的充分必要条件)；
2.各种运算的性质(特别是与数的运算性质的相同点和不同点，尤其是不同点)
作业 p47 习题2.2 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12
2.3 方阵的逆矩阵
2.3.1 逆矩阵的定义
定义2.3.1 设A是一个n阶方阵。若存在一个n阶方阵B使得 。
则称A是可逆矩阵，也称非奇异阵。并称 。
若这样的B不存在，则称A不可逆。
定理2.3.1 可逆矩阵A的逆矩阵是惟一的。
证 设 都是A的逆矩阵。则 。
例1 ，验证A可逆，且 。
【答疑编号12020401】
只要看
容易看出，这时B也可逆，且 。
例2 不可逆。
【答疑编号12020402】
解 设 ，则 。故 不可逆。
2.3.2 n阶方阵可逆的充分必要条件
为讨论n阶方阵可逆的充分必要条件，现引入方阵的伴随矩阵的概念
定义 设 ， 为 的代数余子式 ，则称
为A的伴随矩阵，记为 。
下面计算
类似地，有 。
若 ，有 。于是有下面的定理。
定理2.3.2 n阶方阵A可逆的充分必要条件是 ，且当 时， 。
证 充分性已经得证。只要证必要性。
设n阶方阵A可逆，据定义知，存在n阶方阵B使得AB=BA=E
取行列式得 ，故 ，必要性得证。
推论 设A，B均为n阶方阵，并且满足AB=E，则A,B都可逆，且 。
推论的意义是，不必验证两个乘积AB，BA，而只要验证一个即可。
证 因为 AB=E，故 ，所以 。故A，B都可逆。
由 AB=E 两边左(右)乘 ，得 ，于是有 。
2.3.3 可逆矩阵的基本性质
设A，B为同阶可逆矩阵。常数k≠0。则
1. 可逆，且 。
2.AB可逆， 。
3. 也可逆，且 。
4.kA也可逆，且 。
5.消去律 设P是与A，B同阶的可逆矩阵，若PA=PB，则A=B。
若a≠0，ab=ac则b=c。
但
而
6.设A是n阶可逆方阵。定义 ，并定义 。则有 ，其中k，l是任意整数。
7.设 是 阶可逆方阵，则 。
例3 设 ，问a，b，c，d满足什么条件A可逆？这时求
【答疑编号12020403】
0204到此结束
例4 判断矩阵
是否可逆？若可逆，求出它的逆矩阵。
【答疑编号12020501】
例5 设A是n阶方阵，则 。
【答疑编号12020502】
例6 设A为n阶方阵，则当P为可逆矩阵时，A为对称矩阵 为对称矩阵。
【答疑编号12020503】
例7 设n阶方阵A满足 ，求 和 的逆矩阵。
【答疑编号12020504】
例8 设A是三阶 矩阵，其行列式 ，求行列式 的值。
【答疑编号12020505】
例9 设n阶方阵A满足 ，证明 。
【答疑编号12020506】
例10 设n阶方阵A满足 ，其中m为正整数，求出 的逆矩阵。
【答疑编号12020507】
例11 设A为n阶可逆阵，证明：
（1） （2）
【答疑编号12020508】
小结
1.n阶方阵A可逆的充分必要条件是 。
2.A的伴随矩阵 的定义及重要公式(1) ，(2)当 时 。
3.重要结果 若n阶方阵A，B满足AB=E，则A，B都可逆，且 。
4.逆矩阵的性质(主要是说明求逆运算与矩阵其他运算的关系)
2.4 分块矩阵
2.4.1 分块矩阵的概念
对于行数列数较高的矩阵A，为运算方便，经常采用分块法处理。 即可以用若干条横线和竖线将其分成若干个小矩阵。每个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。
例1 对3×4阶矩阵 ，可以采用很多方法分块。
【答疑编号12020601】
如:分成 ，这时可记为 ，其中
也可以分成
；
称为列分块矩阵。
例2 对于 ，可按下面方法分块
【答疑编号12020602】
，记成
其中 ，
2.4.2 分块矩阵的运算
1.加减法 同型矩阵A，B采用相同的分块法，有
则
2.分块矩阵的数乘
设 ，则 。
3.分块矩阵的转置
例3
一般，如果
4.分块矩阵的乘法
设矩阵A的列数=B的行数，如果对A，B适当分块，使
。则
其中 。
所谓适当分块是指保证上述出现的所有乘法都有意义。
例4 设A为m×k阶矩阵，B为k×n阶矩阵，则AB为m×n阶矩阵。若把矩阵B分成
2.4.3 几个特殊的分快矩阵的运算
（1）准对角矩阵
方阵的特殊分块矩阵
形如
的分块矩阵称为分块对角阵或准对角阵，其中， 均为方阵。
（2）两个准对角（分块对角）矩阵的乘积
则
（3）准对角矩阵的逆矩阵 若 均为可逆阵。
可逆，且 。
例5 求 的逆矩阵。
【答疑编号12020603】
（4）准上（下）三角矩阵的行列式
。
可以证明
例6 设A，D是任意可逆矩阵，验证
【答疑编号12020604】
例7 求矩阵 的逆矩阵。
【答疑编号12020605】
小结 分块的原则，保证运算有意义。
2.5 矩阵的初等变换和初等矩阵
2.5.1 矩阵的初等变换
一、背景
例1 解线性方程组
解
(2)+(－1)(1)；(3)+(－1)(1)；(4)+(－2)(1)得
(3)+(-1)(2)；(4)+(-1)(2)得
(2)+(-2)(3)得
(1)+(-1)(2)+(-3)(3)得
上述解方程的过程可改为只对方程的增广，以 为增广矩阵的方程组的解即为矩阵做相应的行变换来实现。
。
定义2.5.1（线性方程组的初等变换）
称下列三种变换为线性方程组的初等变换。
（1）两个方程互换位置；
（2）用一个非零的数乘某一个方程；
（3）把一个方程的倍数加到另一个方程上。
显然，线性方程组经初等变换后所得的新方程组与原方程组同解。
事实上，上述解线性方程组的过程，只要对该方程组的增广矩阵做相应的行变换即可。
二、矩阵初等变换的定义
定义2.5.2 分别称下列三种变换为矩阵的第一、第二、第三种行（列）初等变
（1）对调矩阵中任意两行（列）的位置；
（2）用一非零常数乘矩阵的某一行（列）；
（3）将矩阵的某一行（列）乘以数k后加到另一行（列）上去。
把行初等变换和列初等变换统称为初等变换。
定义2.5.3如果一个矩阵A经过有限次的初等变换变成矩阵B，则称A与B等价，记为A~B。
等价具有反身性 即对任意矩阵A，有A与A等价；
对称性 若A与B等价，则B与A等价
传递性 若A与B等价，B与C等价，则A与C等价。
定理2.5.1 设线性方程组的增广矩阵 经有限次的初等行变换化为 ，则以 与 为增广矩阵的方程组同解。
三、矩阵的行最简形式和等价标准形
简单地说，就是经过行初等变换可以把矩阵化成阶梯型，进而化成行最简形，而经过初等变换（包括行和列的）可以把矩阵化成等价标准形。
例2 对矩阵A作初等行变换，其中 。
【答疑编号12020801】
阶梯形矩阵的定义：满足
（1）全零行（若有）都在矩阵非零行的下方；
（2）各非零行中从左边数起的第一个非零元（称为主元）的列指标j随着行
指标的增加而单调地严格增加的矩阵称为阶梯形矩阵。（每个阶梯只有一行）
行最简形式
以称满足（1）它是阶梯形；（2）各行的第一个非零元都是1；（3）第一个非零元所在列的其它元素均为零的矩阵为行最简形式。
例3（1） 是阶梯形；（2） 这不是阶梯形。
如上例中最后所得的矩阵 。
若允许再作初等列变换可继续得
这最后的式子就是A的等价标准形。一般，任何一个矩阵的等价标准形都是分块对角阵 ，也可能为 或 。
定理2.5.2任何矩阵都可以经有限次初等行变换化成行最简形式，经有限次初等变换（包括行及列）化成等价标准形。且其标准形由原矩阵惟一确定，而与所做的初等变换无关。
例4 将矩阵 化成行最简形式和标准形。
【答疑编号12020802】
2.5.2 初等方阵
定义2.5.4 对单位阵施行一次初等变换所得到的矩阵称为初等方阵。
以三阶方阵为例
第一种：
第二种：
第三种:
显然，初等阵都是非奇异阵。注意
所以初等阵的逆矩阵为同类的初等阵。
初等矩阵与初等变换之间有密切的联系。
例5 对于
【答疑编号12020901】
定理2.5.3设A是一个m×n阶的矩阵，则
（1） 对A做一次初等行变换，就相当于用一个与这个初等变换相应的m阶初等矩阵左乘A；
（2） 对A做一次初等列变换，就相当于用一个与这个初等变换相应的n阶初等矩阵右乘A；
推论1 方阵经初等变换其奇异性不变。
定理2.5.4对于任意的m×n阶矩阵A，总存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得
证 因为m×n阶矩阵A，总可以经过有限限次的初等行变换和初等列变换化成标准型，又因为初等变换和矩阵乘法的关系，容易证明此定理。
推论2 n阶可逆阵（非奇异阵）必等价于单位阵。
因为否则，其等价标准形不可逆。
定理2.5.5 n阶方阵A可逆的充分必要条件是A能表示成若干个初等阵的乘积。
证 充分性是显然的。下面证必要性。
“ ”已知A为n阶可逆阵，则A与 等价，故存在有限个n阶初等阵 ，即 ，亦即A能表示成有限个初等矩阵的乘积。必要性得证。
推论3 任意可逆阵A（非奇异阵）只经过有限次的初等行（列）变换就能化成单位阵。
证 因为A可逆，故存在可逆阵 使得 ，从而存在有限个初等阵 使得 ，故 。
所以A只经过有限次的初等行变换就能化成单位阵。
2.5.3 用初等变换法求逆矩阵
因为任意非奇异阵 只经行初等变换就可化成单位阵，即
则
这表明，当对A作初等行变换将A变成单位矩阵E时，若对单位矩阵做完全相同的初等变换则单位矩阵E将变成 。于是有求逆矩阵的初等变换法:
写出分块矩阵 作初等行变换，当A化成单位阵时，E就化成为 。
例6 求方阵 的逆矩阵。
【答疑编号12020902】
2.5.4 用初等变换法求解矩阵方程
一元一次方程的标准形 ax=b（a≠0）
矩阵方程的三种标准形
（1）AX=B （2）XA=B
（3）AXB=C则
解法：对第一类
作分块矩阵 对A作初等行变换，当A变成单位阵时，由于B做的是同样的初等行变换，则得到的是 。
例7求解矩阵方程
【答疑编号12021001】
解 ：
所以 。
对于第二类的可先转化为第一类的 ，即由 两边转置得
按上例的方法求出 进而求出X
例8求解矩阵方程
【答疑编号12021002】
思考 如何解方程 AXB=C
设 Y=XB，得方程AY=C，解出Y，进一步解方程XB=Y （这时Y为已知。）
小结 本节主要内容:
1.矩阵初等变换的定义；
2.初等矩阵的定义和性质:（1）初等矩阵必可逆；（2）初等矩阵之积为可逆阵；（3）n阶方阵A可逆的充分必要条件是A能表示成有限个初等矩阵之积。
3.初等变换的性质
（1）定理2.5.1 设线性方程组的增广矩阵 经有限次的初等行变换化为 ，则以 与 为增广矩阵的方程组同解。
（2）定理2.5.2任何矩阵都可以经有限次初等行变换化成行最简形式，经有限次初等变换（包括行及列）化成等价标准形。且其标准形由原矩阵惟一确定，而与所做的初等变换无关。
（3） 定理2.5.3设A是一个m×n阶的矩阵，则
对A做一次初等行（列）变换，就相当于用一个m（n）阶的与这个初等变换相对应的初等矩阵左乘（右乘）A；
（4）定理2.5.4对于任意的m×n阶矩阵A，总存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得 。
（5）对n阶方阵A，初等变换不改变其奇异性。
习题类型:
1.熟练掌握用行变换将矩阵化为阶梯形，行最简形和用初等变换化成标准形的方法；
2.熟练掌握用初等变换法求逆矩阵和求解矩阵方程
作业 p69 1,2（1）（3）（5）,3（2）（3）（4）,4
2.6 矩阵的秩
先介绍矩阵的k阶子式的概念
给定矩阵
A的每个元素都是它的一阶子式，
定义2.6.1 矩阵A的最高阶非零子式的阶数称为该矩阵的秩。记为r（A），有时也记为 秩（A）。
事实上，如果A有一个r阶子式不等于零，而所有r+1阶子式都等于零，则r（A）
例1求矩阵 的秩。
【答疑编号12021101】
上述求秩的方法很繁，是否有更简便的方法求矩阵的秩。
例2显然 的秩等于r。
例3， 则r（A）=2。
定理2.6.1 初等变换不改变矩阵的秩。
推论 设A为m×n阶矩阵，P，Q分别为m，n阶可逆矩阵，则
r（PA）=r（A），r（AQ）=r（A），r（PAQ）=r（A）。
例4求矩阵 的秩。
【答疑编号12021102】
此例说明可以用初等变换法求矩阵的秩（只要经初等变换化成阶梯形，其秩就等于非零行的个数）。
例5求矩阵 的秩。
【答疑编号12021103】
一般，如果n阶方阵A的秩等于它的阶数，则称该矩阵是满秩的，否则称它为降秩的。显然，n阶方阵A满秩的充分必要条件是A可逆。（可逆阵的各种说法：可逆，非异，满秩）。
小结这一节主要是掌握矩阵秩的概念和用初等变换法求矩阵的秩。
说明 2.7的内容放到第四章讲。
作业 p75 习题2.6 1（2）（3）（4）,3
第二章 总 结
1.矩阵运算有意义的充分必要条件；矩阵运算的定义；
2.矩阵运算的性质，特别是比较矩阵运算性质与数的运算性质的相同点和不同点，特别是不同点；
3.方阵可逆的充分必要条件以及判断方阵可逆的方法；
4.矩阵的初等变换和初等矩阵的概念，用初等变换法求逆矩阵和矩阵方程的解；
5.矩阵的秩的概念和求矩阵秩的方法。