2015年04184线性代数（经管类）复习资料-线性代数重难点解析与全真练习2
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发布时间：2015年01月16日
一、重点
1、理解：矩阵的定义、性质，几种特殊的矩阵（零矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，对角矩阵，逆矩阵，正交矩阵，伴随矩阵，分块矩阵）
2、掌握：
1）矩阵的各种运算及运算规律
2）矩阵可逆的判定及求逆矩阵的各种方法
3）矩阵的初等变换方法
二、难点
1、矩阵的求逆矩阵的初等变换
2、初等变换与初等矩阵的关系
三、重要公式及难点解析
1、线性运算
1）交换律一般不成立，即AB≠BA
2）一些代数恒等式不能直接套用，如设A，B，C均为n阶矩阵
（A+B）2=A2+AB+BA+B2≠A2+2AB+B2
（AB）2=（AB）（AB）≠A2B2
（AB）k≠AkBk
（A+B）（A-B）≠A2-B2
以上各式当且仅当A与B可交换，即AB=BA时才成立。
3）由AB=0不能得出A=0或B=0
4）由AB=AC不能得出B=C
5）由A2=A不能得出A=I或A=0
6）由A2=0不能得出A=0
7）数乘矩阵与数乘行列式的区别
2、逆矩阵
1）（A–1）–1＝A
2）（kA） –1=（1/k）A–1，（k≠0）
3）（AB）–1=B–1A–1
4）（A–1）T=（AT）–1
5）│A–1│=│A│–1
3、矩阵转置
1）（AT）T＝A
2）（kA） T=kAT，（k为任意实数）
3）（AB）T=BTAT
4）（A+B）T=AT+BT
4、伴随矩阵
1）A*A＝A A*=│A│I （AB）*=B*A*
2）（A*）*=│A│n-2 │A*│=│A│n-1 ，（n≥2）
3）（kA）*=kn-1A* （A*）T=（AT）*
4）若r（A）=n，则r （A*）=n
若r（A）=n-1，则r （A*）=1
若r（A）<n-1，则r （A*）=0
5）若A可逆，则（A*）-1=（1/│A│）A，（A*）-1＝（A-1）*，A*＝│A│A-1
5、初等变换（三种）
1）对调二行（列）
2）用k（k≠0）乘以某行（列）中所有元素
3）把某行（列）的元素的k倍加至另一行（列）的对应元素
注意：用初等变换①求秩，行、列变换可混用
②求逆阵，只能用行或列变换
③求线性方程组的解，只能用行变换
1、理解：矩阵的定义、性质，几种特殊的矩阵（零矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，对角矩阵，逆矩阵，正交矩阵，伴随矩阵，分块矩阵）
2、掌握：
1）矩阵的各种运算及运算规律
2）矩阵可逆的判定及求逆矩阵的各种方法
3）矩阵的初等变换方法
二、难点
1、矩阵的求逆矩阵的初等变换
2、初等变换与初等矩阵的关系
三、重要公式及难点解析
1、线性运算
1）交换律一般不成立，即AB≠BA
2）一些代数恒等式不能直接套用，如设A，B，C均为n阶矩阵
（A+B）2=A2+AB+BA+B2≠A2+2AB+B2
（AB）2=（AB）（AB）≠A2B2
（AB）k≠AkBk
（A+B）（A-B）≠A2-B2
以上各式当且仅当A与B可交换，即AB=BA时才成立。
3）由AB=0不能得出A=0或B=0
4）由AB=AC不能得出B=C
5）由A2=A不能得出A=I或A=0
6）由A2=0不能得出A=0
7）数乘矩阵与数乘行列式的区别
2、逆矩阵
1）（A–1）–1＝A
2）（kA） –1=（1/k）A–1，（k≠0）
3）（AB）–1=B–1A–1
4）（A–1）T=（AT）–1
5）│A–1│=│A│–1
3、矩阵转置
1）（AT）T＝A
2）（kA） T=kAT，（k为任意实数）
3）（AB）T=BTAT
4）（A+B）T=AT+BT
4、伴随矩阵
1）A*A＝A A*=│A│I （AB）*=B*A*
2）（A*）*=│A│n-2 │A*│=│A│n-1 ，（n≥2）
3）（kA）*=kn-1A* （A*）T=（AT）*
4）若r（A）=n，则r （A*）=n
若r（A）=n-1，则r （A*）=1
若r（A）<n-1，则r （A*）=0
5）若A可逆，则（A*）-1=（1/│A│）A，（A*）-1＝（A-1）*，A*＝│A│A-1
5、初等变换（三种）
1）对调二行（列）
2）用k（k≠0）乘以某行（列）中所有元素
3）把某行（列）的元素的k倍加至另一行（列）的对应元素
注意：用初等变换①求秩，行、列变换可混用
②求逆阵，只能用行或列变换
③求线性方程组的解，只能用行变换