山西自考会计专业概率论与数理统计复习资料4
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第四章 随机变量的数字特征
内容介绍
本章主要讨论随机变量的数字特征：数学期望，方差标准差，协方差，相关系数等.
考点分析
2007年4月 2007年7月 2007年10月
选择题 3题6分 3题6分 3题6分
填空题 2题4分 2题4分 1题2分
计算题 1题8分 1题9分
综合题 1题12分 1题12分
合计 6题18分 7题31分 5题20分
内容讲解
§ 4.1 随机变量的期望
1.离散型随机变量的期望
（1）期望的意义
引例：
一射手进行打靶练习，规定射入区域e2得2分，射入区域e1得1分，脱靶即射入区域e0，得0分，射手每次射击的得分数X是一个随机变量。
（2）定义：设离散型随机变量X的分布律为
P{X=xk}=pk，k＝1，2，….
若级数 绝对收敛（即级数 收敛），则定义X的数学期望（简称均值或期望）为 .
注：（1）当X的可能取值为有限多个x1，x2，…，xn时，
；
（2）当X的可能取值为可列多个x1，x2，…，xn，…时
.
例题1. P87
【例4－1】设随机变量X的分布律为
求E（X）。
【答疑编号：12040101】
例题2. P87
【例4－2】甲乙两人进行打靶，所得分数分别记为X，Y，它们的分布律分别为
试比较他们成绩的好坏。
【答疑编号：12040102】
解：分别计算X和Y的数学期望：
E（X）=0×0+1×0.2+2×0.8=1.8（分），
E（Y）=0×0.1+1×0.8+2×0.1=1（分）。
这意味着，如果进行多次射击，甲所得分数的平均值接近于1.8分，而乙得分的平均值接近1分。很明显乙的成绩远不如甲。
（3）三种离散型随机变量的数学期望
① 两点分布
设离散型随机变量X的分布律为
其中0<p<1，则E（X）=P.
② 二项分布
设X～B（n,p），即 （i＝0,1，2，…，n），q=1-p，
则E（X）=np.
证明：
③ 泊松分布
设X～P（λ）其分布律为 ，i＝0，1，2，…，
则E（X）= λ.
证明：
例题3. P88
【例4－3】设随机变量X～B（5，p），因此E（X）=1.6，求参数p。
【答疑编号：12040103】
解：由已知X～B（5，p），因此E（X）=np=1.6，n=5，所以
P=1.6÷5=0.32。
例题4. P88
【例4－4】已知随机变量X的所有可能取值为1和x，且P{X=1}=0.4，E（X）=0.2，求x。
【答疑编号：12040104】
解：
（4）离散型随机变量函数的数学期望
定理4－1 设离散型随机变量X的分布律为
P{X=xk}=pk，k＝1，2，….
令Y=g（X），若级数 绝对收敛，则随机变量Y的数学期望为
.
例题5. P88
【例4－5】设随机变量X的分布律为
令Y=2X+1，求E（Y）
【答疑编号：12040501】
2.连续型随机变量的期望
（1）定义：设连续型随机变量X的概率密度f（x），若广义积分 绝对收敛，则称该积分为随机变量X的数学期望（简称期望或均值），记为E（X），即
.
例题6. P89
【例4－7】
设随机变量X的概率密度为
求E（X）。
【答疑编号：12040106】
解：
例题7. P89
【例4－8】设随机变量X的概率密度函数为
求E（X）。
【答疑编号：12040107】
（2）三种连续型随机变量的期望
① 均匀分布
设X～U（a,b），其概率密度为 ，
则 .
证明：
② 指数分布
设X～E（λ），其概率密度为 ，
则 .
证明：
③ 正态分布
设X～N（μ,σ2），其概率密度为
，-∞<x<+∞，
则E（X）=μ.
证明：
（3）连续型随机变量函数的期望
定理：设X为连续型随机变量，其密度函数为f（x），又设随机变量Y=g（X），若 绝对收敛，则 。
说明：也可以先求Y的概率密度fY（y），再根据定义求E（Y）.
例题8. P91
【例4－9】风速V是一个随机变量，设它服从[0,a]上均匀分布，其概率密度为
又设飞机机翼受到的压力W是风速V的函数，W=kV2（k>0常数）,求W的数学期望。
【答疑编号：12040201】
解：
例题9. P91
【例4－10】设X的概率密度为
求 。
【答疑编号：12040202】
解：
例题10. P91
【例4－11】设X～N（μ，σ2），令Y=eX，求E（Y）。
【答疑编号：12040203】
解：
3.二维随机变量函数的期望
（1）二维随机变量分量的期望
定理4－3：（1）若（X,Y）为离散型随机变量，其分布律为 ，边缘分布律为 ， ，则
， .
（2）若（X,Y）为连续型随机变量，其概率密度与边缘概率密度分别为f（x,y），fX（x），fY（y），则
，
.
（2）二维随机变量函数的期望
定理4－4： 设g（x,y）为二元连续函数，对于二维随机变量（X,Y）的函数Z=g（X,Y），
（1）若（X,Y）为离散型随机变量，级数 绝对收敛，则
；
（2）若（X，Y）为连续型随机变量，且积分 绝对收敛，则
.
例题11. P92
【例4－12】已知（X，Y）的分布律为
求：（1）E（2X+3Y）；
【答疑编号：12040204】
（2）E（XY）。
【答疑编号：12040205】
解：
例题12. P92
【例4－13】设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
求：（1）E（X+Y）；（2）E（XY）；（3）P{X+Y≤1}
【答疑编号：12040206】
解：
（1）
（2）
（3） 或
4.期望的性质
（1）常数的期望等于该常数，即E（C）=C，C为常数；
（2）常数与随机变量X乘积的期望等于该常数与随机变量期望的乘积，即E（CX）=CE（X）；
（3）随机变量和的期望等于随机变量期望之和，即E（X+Y）=E（X）+E（Y）；
证明：
综合性质（2）和（3），则有E（C1X+C2Y）=C1E（X）+C2E（Y），其中C1,C2为常数.
一般地， ，其中Ci为常数.
（4）两个相互独立的随机变量的乘积的期望等于随机变量期望的乘积，即若X,Y为相互独立的随机变量，则E（XY）=E（X）E（Y）.
例题13. P94
【例4－14】设Xi（i=1，2，…，n）服从0-1分布
其中0<p<1，q=1-p，且X1, X2,…Xn相互独立。令X=X1+X2+…+Xn，求X的期望。
【答疑编号：12040207】
解：
例题14. P94
【例4－15】4个人进行射击比赛，每人射4发，在射击时，约定某人全部不中得0分，只中一弹得15分，中两弹得30分，中三弹得55分，中四弹得100分。四人射击的命中率都为 ，求4人射击总得分的期望。
【答疑编号：12040208】
解：设Xi（i=1,2,3,4）表示第i个射手的得分，则它的分布律为
即
则Xi的期望为
用X表示4个射手的总得分，则X=X1+X2+X3+X4，从而4人射击总得分的期望为
E（X）=E（X1）+E（X2）+E（X3）+E（X4）=4×44.64=178.65。
§ 4.2 方差
1.方差的意义
期望反映了随机变量的集中位置，但是，不能反映随机变量的全部性质，我们还需了解随机变量的其他特征，其中重要的特征是随机变量的离散趋势。经分析，选取离差平方和。
2.方差的定义
① 定义：设随机变量X，且（X-E（X））2的期望存在，则称E（X-E（X））2为随机变量X 的方差，记为D（X），即D（X）=E（X-E（X））2；又称 为随机变量X的标准差.
② 若离散型随机变量X的分布律为P（X=xk）=pk，k＝1，2，…，则
.
③ 若连续型随机变量X的概率密度为f（x），则
.
例1.P97
【例4－16】设两批纤维的长度分别为随机变量X1，X2，其分布律分别为
求D（X1），D（X2）。
【答疑编号：12040301】
解：
例2.P97
【例4－17】已知随机变量X的概率密度为
求D（X）。
【答疑编号：12040302】
3.方差的计算
① 计算公式：D（X）=E（X2）-（E（X））2.
证明：
② 若离散型随机变量X的分布律为P{X=xk}=pk，k＝1，2，…，则
.
③若连续型随机变量X的概率密度为f（x），则
.
例3.P98
【例4－18】设随机变量X的期望E（X）=2，方差D（X）=4，求E（X2）。
【答疑编号：12040303】
解：
=4+4=8
例题4. P98
【例4－19】设X的概率密度为
求D（X）。
【答疑编号：12040304】
解：
2.常用随机变量的方差
（1）0－1分布
设离散型随机变量X的分布律为
其中0<p<1，则D（X）=p（1-p）.
证明：
（2）二项分布
设X～B（n,p），即 （i＝1，2，…，n），q=1-p，
则 D（X）=npq.
证明：
（3）泊松分布
设X～P（λ），其分布律为 ，i＝0，1，2，…，
则 D（X）=λ.
证明：
例题5. P 100
【例4－21】设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2}，求D（X）。
【答疑编号：12040305】
（4）均匀分布
设X～U（a,b），即概率密度为
，
则 .
证明：
例题6. P 100
【例4－22】设随机变量X服从某一区间上的均匀分布，且E（X）=3，D（X）= ，求X的概率密度函数f（x）.
【答疑编号：12040306】
解：因为
所以
a+b=6,（b-a）2=4,b-a=2，
解之得
b=4,a=2
所以
（5）指数分布
设X～E（λ），即概率密度为
，
则 .
证明：
（6）正态分布
设X～N（μ，σ2），即概率密度为
，-∞<x<+∞，
则 D（X）=σ2.
证明：
例题8. P101
【例4－23】已知（X，Y）的分布律为
求E（X），E（Y），D（X），D（Y）。
【答疑编号：12040401】
例题9. P102
【例4－24】设（X，Y）的概率密度为
求E（X），E（Y），D（X），D（Y）。
【答疑编号：12040402】
例题10. P102
【例4－25】设（X，Y）服从在D上的均匀分布，其中D由x轴、y轴及x+y=1所围成，求D（X）。
【答疑编号：12040403】
3.方差的性质
（1）常数的方差等于零，随机变量与常数之和的方差等于随机变量的方差，即
D（C）=0，D（X+C）=D（X）.
D（X+C）=E[（X+C）-E（X+C）]2=E（X+C-E（X）-C）2=E[X-E（X）]2=D（X）。
（2）常数与随机变量乘积的方差等于该常数的平方与随机变量方差的乘积，即
D（CX）=C2D（X）.
（3）两个相互独立随机变量之和的方差等于它们方差之和，即若X，Y相互独立，则
D（X+Y）=D（X）+D（Y）.
这一性质也推广到n个相互独立的随机变量情况：若X1，X2，…，Xn，相互独立，则
D（X1+X2+…+Xn）=D（X1）+D（X2）+…+ D（Xn）。
将这一性质应用于二项分布可知，二项分布随机变量X能表示成n个相互独立的两点分布随 机变量之和：X=X1+X2+…+Xn，因为Xi的方差为pq,i=1，2，…，n，则
D（X）=D（X1）+D（X2）+…+ D（Xn）=npq.
例题11. P103
【例4－26】设X1，X2，…Xn相互独立，E（Xi）=μ,D（Xi）=σ2（i=1，2，…，n），求 的期望和方差。
【答疑编号：12040404】
例题12. P103
【例4－27】设随机变量X，Y相互独立，X与Y的方差分别为4和2。求D（2X-Y）。
【答疑编号：12040405】
几种重要随机变量的分布及其数字特征汇总看表4-1。（p104）
§ 4.3 协方差与相关系数
本节讨论二维随机变量（X,Y）两个分量之间相互关系的数字特征。
1.协方差
（1）定义：设二维随机变量（X,Y），且E（X），E（Y）存在，如果E[（X-E（X））（Y-E（Y））]存在，则称之为X与Y的协方差，记为cov（X,Y），即
cov（X,Y）=E[（X-E（X））（Y-E（Y））].
（2）若离散型二维随机变量（X,Y）的分布律为
，（i,j＝1，2，…），
则 .
（3）若连续型二维随机变量（X,Y）的概率密度为f（x,y），
则 .
（4）计算公式：cov（X,Y）=E（XY）-E（X）E（Y）
特例：当X=Y时，cov（X,X）=D（X）.
例题1. P105
【例4－28】设（X，Y）的密度函数为
求cov（X，Y）
【答疑编号：12040406】
例题2. P106
【例4－29】设（X，Y）服从在D上的均匀分布，其中D由x轴、y轴及x+y=1所围成。求X与Y的协方差cov（X,Y）.
【答疑编号：12040407】
（5）性质
① cov（X,Y）=cov（Y,X）；
② cov（aX,bY）=abcov（X,Y），其中a,b为任意常数；
③
④ 若X与Y相互独立，则cov（X,Y）=0.
例题3. P106
【例4－31】设（X，Y）在圆域D={（x,y）︱x2+y2≤1}上服从均匀分布。求cov（X，Y），并判断X，Y是否相互独立。
【答疑编号：12040408】
但f（x,y）≠fX（x）•fY（y）,知X，Y一定不相互独立。
可见Cov（X,Y）=0是X与Y相互独立的必要非充分条件。
2.相关系数
（1）定义：若D（X）>0，D（Y）>0，称 为X与Y的相关系数，记为 ，
即 .
例题4. P107
【例4－33】接例4-31，求（X，Y）的相关系数ρXY。
【答疑编号：12040501】
（2）性质
① ；
证明：
② 的充分必要条件是存在常数a，b，使
P{Y=aX+b}=1且a≠0.
（3）不相关定义：若相关系数ρXY=0，则称X与Y不相关.
（4）相关系数的意义：两个随机变量的相关系数是它们之间线性关系程度的度量： ，表示它们之间存在完全线性关系，即一次函数关系；ρXY=0，表示它们之间无线性相关关系，但是，不表示它们之间不存在其他相关关系； ，表示它们之间存在一定的线性相关关系.若ρXY>0，表示它们之间存在正线性相关关系，即上式中a>0；若ρXY<0，表示它们之间存在负线性相关关系，即上式中a<0.
（5）两个重要结论
① 随机变量X与Y相互独立 X与Y不相关；反之未必.
② 若二维随机变量（X,Y）服从二维正态分布，则ρXY=ρ，且二维随机变量（X,Y）的两个分量不相关 两个分量相互独立. ρ=0.
例题5. P109
【例4－34】设随机变量（X，Y）的分布律为
求：（1）E（X），E（Y），D（X），D（Y），Cov（X，Y），ρXY。
【答疑编号：12040502】
解：X,Y的分布律分别为
E（Y）=（-1）×0.75+1×0.25=-0.5
E（Y2）=（-1）2×0.75+1×0.25=1
D（Y）=E（Y2）-E2（Y）=1-0.25=0.75
例题6. P109
【例4－35】设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
求：（1）E（X），E（Y）；
【答疑编号：12040503】
（2）D（X），D（Y）；
【答疑编号：12040504】
（3）Cov（X，Y），ρXY。
【答疑编号：12040505】
解：
D（Y）= D（Y2）-（EY2）
例题7. P111
【例4－37】已知D（X）=4,D（Y）=1,ρXY=0.6，求D（X+Y），D（3X-2Y）。
【答疑编号：12040506】
3.矩、协方差矩阵
（1）矩的定义：设X为随机变量，k为正整数，① 如果E（Xk）存在，则称E（Xk）为X的k阶原点矩，记为vk=E（Xk）；② 如果 存在，则称 为X的k阶中心矩，记为 ＝ .
（2）两种随机变量的矩
① 离散型随机变量的矩：若离散型随机变量X的分布律为P{X=xi}=pi，i＝1，2，…，则
， .
②连续型随机变量的矩：若连续型随机变量 的概率密度为 ，则
， .
显然，一阶原点矩是期望，二阶中心矩是方差.
（3）混合矩定义：设X，Y为随机变量，① 若 （k,l＝1，2，…）存在，则称其为X和Y的 阶混合原点矩；②若 存在，则称其为X和Y的 阶混合中心矩.
显然，协方差是二阶混合中心矩.
（4）协方差矩阵
① 二维随机变量的协方差矩阵定义：设二维随机变量（X1,X2）的4个二阶中心矩为
C11=E[X1-E（X1）] 2 =cov（X1 ,X1） =D（X1）,
C12=E[（X1-E（X1））（ X2-E（X2））] =cov（X1 ,X2）,
C21=E[（X2-E（X2））（ X1-E（X1））] =cov（X2 ,X1）,
C22=E[（X2-E（X2））] 2 =cov（X2 ,X2） = D（X2）,
则称矩阵 为二维随机变量（X1,X2）的协方差矩阵.
② n维随机变量（X1,X2,…,Xn）的协方差矩阵定义：设n维随机变量（X1,X2,…,Xn）的二阶中心矩为
（i,j＝1，2，…，n），
则称矩阵 为 维随机变量（X1,X2,…,Xn）的协方差矩阵.
显然，上述矩阵C是正实数对称阵，且其主对角线上的元素为 （i＝1，2，…，n）的方差.
例题8. P112
【例4－38】设（X,Y）的协方差矩阵为 ,求ρXY,
【答疑编号：12040601】
本章小结
一、内容
二、试题选讲
1.（407）设随机变量X服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（ ）.
A. E（X）=0.5，D（X）=0.5
B.E（X）=0.5，D（X）=0.25
C. E（X）=2，D（X）=4
D.E（X）=D（X）=2
【答疑编号：12040602】
答案：D
2.（708）设随机变量X的分布函数为 ，则E（x）＝（ ）.
A.
B.
C.
D.3
【答疑编号：12040603】
答案：D
3.（1007）设随机变量X服从参数为3的泊松分布，Y～B（8， ），且X，Y相互独立，则D（X-3Y-4）＝（ ）.
A.13 B.15 C.19 D.23
【答疑编号：12040604】
答案：C
4.（709）设随机变量X与Y相互独立，且X～B（36， ），Y～B（12， ），则D（X-Y+1）＝（ ）.
A.
B.
C.
D.
【答疑编号：12040605】
答案：C
5.（408）设随机变量X与Y相互独立，且X～N（1，4），Y～N（0，1），则D（X-Y）＝（ ）.
A. 1
B. 3
C. 5
D. 6
【答疑编号：12040606】
答案：C
6.（720）设随机变量X，Y的分布律分别为
且X与Y相互独立，则E（XY）＝______________.
【答疑编号：12040607】
答案：－
7.（409）已知D（X）＝4，D（Y）＝25，Cov（X,Y）＝4，则ρxy（ ）.
A.0.004 B.0.04 C.0.4 D.4
【答疑编号：12040608】
答案：C
8.（1008）已知D（X）＝1，D（Y）＝25， ＝0.4，则D（X-Y）＝（ ）.
A.6 B.22 C.30 D.46
【答疑编号：12040609】
答案：B
9.（1022）设二维随机变量 ～ ， ； ， ； ），且X与Y相互独立，则
ρ＝____________.
【答疑编号：12040610】
答案：0
10.（428）设随机变量X的概率密度为 ，试求：
（1）常数c；
【答疑编号：12040611】
（2）E（X），D（X）；
【答疑编号：12040612】
（3） .
【答疑编号：12040613】
答案：（1） ；（2）0， ；（3）1