山西自考-线性代数（经管类）复习资料下载1
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第四部分 线性方程组
本章讨论线性方程组，对齐次方程组主要是讨论齐次方程组有非零解的充要条件，基础解系的概念，解的性质，以及求基础解系和通解的方法。对非齐次方程组主要讨论何时有解？何时解惟一？何时有无穷多解？有无穷多解时，如何求通解。
4.1 齐次线性方程组
4.1.1 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件
齐次线性方程组的一般形式是
用矩阵也可简写成
Ax=0
其中 。
我们要讨论的问题是：该齐次方程组有非零解的充分必要条件。
令 为矩阵A的列向量，则该齐次方程组又可以写成
，其中
则齐次方程组有非零解的充分必要条件就是向量组 线性相关，用矩阵的秩来描述就是该线性方程组的系数矩阵 的秩r（A）<n，其中n是未知数的个数。于是有下面的定理
定理4.1.1 齐次线性方程组AX=0有非零解的充分必要条件是r（A）<n，其中n是未知数的个数（也是矩阵A的列数）。
等价的说法是
齐次线性方程组AX=0只有零解，没有非零解的充分必要条件是r（A）=n。
推论1 n个未知数n个方程的齐次方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式 。
下面讨论当齐次方程组有非零解时，方程组通解的结构。为此，先讨论齐次方程组解的性质。
4.1.2 齐次线性方程组解的性质
我们已知齐次方程组AX=0的解是一个n维向量。
下面要讨论它的所有解组成的集合 是什么样的集合。
因为齐次方程组AX=0必有零解，所以0∈V，故V非空。
性质1 若 都是齐次方程组AX=0的解，则 也是齐次方程组AX=0的解。
证 。
性质2 若 是齐次方程组AX=0的解，k是一个数，则 也是齐次方程组AX=0的解。
证
以上两条性质说明 是 的一个子空间，所以我们称它为齐次方程组AX=0的解空间。
如果齐次方程组AX=0只有零解，V=｛0｝，否则，我们希望求出它的所有解的一般表达式，即通解。即写出 中所有元素的一般表达式。
4.1.3 齐次线性方程组AX=0的基础解系
定义4.1.1 设 是齐次线性方程组AX=0的一组解向量。如果它满足：
（1） 线性无关；
（2）齐次线性方程组AX=0的的任意一个解 ，都能由它线性表示。
则称该向量组为齐次线性方程组AX=0的基础解系。
进一步，要问，对于给定的齐次方程组，满足什么条件时，它有基础解系？基础解系含几个解向量？如何求一个齐次线性方程组的基础解系？如何求出该齐次方程组的通解？看例题
例1求齐次线性方程组 的所有解。
【答疑编号12040101】
定理4.1.2 设A是m×n阶矩阵，r（A）=r，则
（1）当r（A）=r <n时齐次方程组AX=0必有基础解系。
（2）AX=0的基础解系含n-r（A）个解向量，且AX=0的任意n-r（A）个线性无关的解都是它的基础解系（因为齐次方程组含n-r（A）个自由未知数）。
（3）如果 是AX=0的一个基础解系，则
为任意数）
为AX=0的通解。
例2设 是齐次方程组AX=0的一个基础解系。证明：
也是AX=0的一个基础解系。
【答疑编号12040201】
例3 求 的基础解系和通解。
【答疑编号12040202】
例4求齐次方程组 的通解。
【答疑编号12040203】
例5 证明：同解的齐次线性方程组的系数矩阵必有相等的秩。
【答疑编号12040204】
证 设齐次方程组AX=0与BX=0同解。则两个方程组所含未知数的个数必相等，设为n，且两个方程组的解空间必相同，其维数必相同，
n-r（A）=n-r（B）
故r（A）=r（B）。命题得证。
例6 设A是m×n阶的实矩阵，证明:
【答疑编号12040205】
例7 设矩阵 和 满足AB=0，证明:r（A）+r（B）≤n
【答疑编号12040206】
小结：
1.齐次方程组AX=0有非零解的充分必要条件是r（A）<n （其中n是未知数的个数）。
2.齐次方程组基础解系的概念，所含解向量的个数，判断向量组是某个齐次方程组基础解系的方法。
3.求齐次方程组基础解系和通解的方法。
作业 p116 1,2,3（1）（4）（5）,4,5
4.2 非齐次线性方程组
4.2.1 非齐次线性方程组有解的充要条件
非齐次线性方程组的一般形式是
用矩阵也可简写成
Ax=b
其中 。
我们要讨论的问题是：该非齐次方程组何时有解，有解时，何时解惟一？何时有无穷多解，当有无穷多解时，如何表示其通解？如果
令
则方程组Ax=b有解的充分必要条件就是向量b能由向量组 线性表出。
为方程组Ax=b的增广矩阵，则用矩阵的秩来描述，有下面的定理。
定理4.2.1 线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是 。
4.2.2 非齐次线性方程组解的结构
一、 非齐次线性方程组解的性质
（1）如果 都是非齐次方程组Ax=b的解，则 是它的导出组Ax=0的解；
（2）如果η是非齐次方程组Ax=b的一个解， 是它的导出组Ax=0的解，则 是Ax=b的解。
二、非齐次线性方程组通解的结构
定理4.2.2 （1）如果 ，则线性方程组Ax=b有惟一的解；
（2）如果 ，方程组Ax=b有无穷多解。设 是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解， 是它的导出组Ax=0的基础解系。则
是Ax=b的通解。
（3）当 ＋1时，方程组无解。
推论 对于n个未知数，n个方程的线性方程组Ax=b。有
（1）如果 ，则方程组Ax=b有惟一的解 ；
（2）如果 ，当 时，方程组有无穷多解。
4.2.3 求非齐次线性方程组通解的方法
步骤:
（1）写出方程组的增广矩阵；
（2）对增广矩阵作初等行变换，将其化为阶梯形；
（3）确定约束未知数和自由未知数；
（4）令所有自由未知数都取零，得非齐次方程组的一个特解；
（5）求出对应齐次方程组（导出组）的基础解系，进而写出原非齐次方程组的通解。
例1 求 的通解
【答疑编号12040401】
例2 当参数a为何值时，非齐次方程组
有解？当它有解时，求出它的通解。
【答疑编号12040402】
例3 证明:线性方程组
有解当且仅当
【答疑编号12040403】
例4 下列向量 能否表示成 的线性组合？
（1）
【答疑编号12040404】
（2）
【答疑编号12040405】
例5 设Ax=b中未知数的个数n=4，r（A）=3。设 为Ax=b的三个解。已知
。 求Ax=b的通解。
【答疑编号12040501】
例6 当参数λ为何值时，非齐次方程组
无解？有惟一解？有无穷多解？并求出它的通解。
【答疑编号12040502】
小结
1.线性方程组Ax=b何时有解？有解时，何时解惟一？何时有无穷多解？有无穷多解时，如何表示其通解；
2.线性方程组Ax=b是否有解，解是否惟一与向量b能否由向量组 线性表示的关系；
3.线性方程组Ax=b的解的性质；
4.非齐次方程组Ax=b的通解的公式，求非齐次方程组通解的方法。
P86 习题3.1 3（1）（3）,4,5,p125 习题4.2 1（1）（3）（4）（6）3（1）,4,6,
本章总结
1.齐次方程组Ax=0有非零解的充分必要条件；
2.齐次方程组Ax=0的基础解系的概念，基础解系所含解向量的个数，判断向量组是否为齐次方程组基础解系的方法；
3.求齐次方程组的基础解系和通解的方法。
4.线性方程组Ax=b何时无解？何时有解？有解时，何时解惟一？何时有无穷多解？有无穷多解时，如何求其通解。