2015年04184线性代数(经管类)复习资料-线性代数重难点解析与全真练习5

山西万博体育app官网网 发布时间:2015年01月16日
4、向量组的秩与矩阵的秩
  1)极大线性无关组的概念
  2)向量组的秩
  3)矩阵的秩
  ①r(A)=r(AT)
  ②r(A+B)≤r(A)+r(B)
  ③r(kA)=r(A),k≠0
  ④r(AB)≤min(r(A),r(B))
  ⑤如A可逆,则r(AB)=r(B);如B可逆,则r(AB)=r(A)
  ⑥A是m×n阵,B是n×p阵,如AB=0,则r(A)+r(B)≤n
  4)向量组的秩与矩阵的秩的关系
  ①r(A)=A的行秩(矩阵A的行向量组的秩)=A的列秩(矩阵A的列向量组的秩)
  ②经初等变换矩阵、向量组的秩均不变
  ③若向量组(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表出,则r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)。特别的,等价的向量组有相同的秩,但秩相同的向量组不一定等价。
5、基础解系的概念及求法
  1)概念
  2)求法
  对A作初等行变换化为阶梯形矩阵,称每个非零行中第一个非零系数所代表的未知数是主元(共有r(A)个主元),那么剩于的其他未知数就是自由变量(共有n- r(A)个),对自由变量按阶梯形赋值后,再带入求解就可得基础解系。
6、齐次方程组有非零解的判定
  1)设A是m×n矩阵,Ax=0有非零解的充要条件是r(A)<n,亦即A的列向量线性相关。
  2)若A为n阶矩阵,Ax=0有非零解的充要条件是│A│=0
  3)Ax=0有非零解的充分条件是m<n,即方程个数<未知数个数
7、非齐次线性方程组有解的判定
  1)设A是m×n矩阵,Ax=b有解的充要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵(A增)的秩,即r(A)=r(A增)
  2)设A是m×n矩阵,方程组Ax=b
  ①有唯一解<==> r(A)=r(A增)=n
  ②有无穷多解<==> r(A)=r(A增)<n
  ③无解<==> r(A)+1=r(A增)